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By Manfred Dobrowolski

ISBN-10: 3540253955

ISBN-13: 9783540253952

In diesem Lehrbuch werden die Methoden der Funktionalanalysis mit ihren Anwendungen in der Theorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Gleichzeitig werden dem Leser die analytischen und funktionalanalytischen S?tze n?her gebracht, die f?r die numerische Approximation elliptischer (und anderer) Differentialgleichungen bedeutsam sind. Neben dem klassischen Stoff der linearen Funktionalanalysis werden daher ausf?hrlich die Sobolevschen Funktionenr?ume (auch von negativer und gebrochener Ordnung) sowie die Existenz- und Regularit?tstheorie elliptischer Differentialgleichungen behandelt. Besonderer Wert wird auf die Umsetzung der Funktionalanalysis gelegt, additionally der Anwendung der abstrakten Theorie auf den konkreten Fall. Dies geschieht durch eine Vielzahl von Anwendungsbeispielen. Zahlreiche sorgf?ltig ausgew?hlte und kommentierte Aufgaben runden die Darstellung ab.

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C)⇒(b): Zu jeder endlichen Indexmenge J0 ⊂ J gibt es eine endliche Indexmenge I0 ⊂ I und eine Konstante K mit max qj (T x) ≤ K max pi (x) ∀x ∈ X. j∈J0 i∈I0 F¨ ur alle x mit max pi (x) < r/K folgt hieraus max qj (T x) < r, also ∩i∈I0 Vi,K −1 r (0) ⊂ ∩j∈J0 T −1 (Vj,r (0)). ⊔ ⊓ Im Spezialfall Y = erhalten wir: Ein lineares Funktional f : X → ist genau dann stetig, wenn es ein K und eine endliche Indexmenge I0 ⊂ I gibt mit |f (x)| ≤ K max pi (x) ∀x ∈ X. ☎ ☎ i∈I0 Auch im lokalkonvexen Fall wird der Raum der stetigen linearen Funktionale Dualraum genannt und mit X ′ notiert.

11) insbesondere auch, daß (uk (x)) f¨ ur alle x ∈ X Cauchy-Folge in ist. Es gibt also eine Funktion u(x) mit uk (x) → u(x) punktweise in . 11) zum Grenzwert l → ∞ u ¨bergehen und erhalten ☎ ☎ max |uk (x) − u(x)| ≤ ε ∀k ≥ K, x∈X woraus die gleichm¨ aßige Konvergenz folgt. Wir m¨ ussen nun zeigen, daß diese Grenzfunktion stetig ist, was im Fall X = K ⊂ n ein wohlbekannter Satz der reellen Analysis ist. Der Beweis verl¨auft hier v¨ ollig analog: Sei x ∈ X und ε > 0 vorgegeben. Dann gibt es ein k mit u−uk ∞ ≤ ε und eine Kugel Bδ (x) ur alle y ∈ Bδ (x).

Damit ist (xk ) eine Cauchy-Folge, also xk → x xk − xl ≤ c−1 e und wegen der Stetigkeit von T auch T xk → T x = y. Sei x0 ⊥ R(T ). Aus (x0 , T x) = 0 f¨ ur alle x ∈ X folgt 0 = (x0 , T x0 ) = b(x0 , x0 ) ≥ ce x0 2X und damit x0 = 0. Da R(T ) abgeschlossen ist, erhalten wir R(T ) = X. Damit ist T bijektiv und R = T −1 . 10), indem man dort x durch T −1 x ersetzt. 5 R¨ aume stetiger Funktionen und der Satz von Arzela-Ascoli Sei X ein kompakter metrischer Raum und C(X) der Raum der auf X stetigen, -wertigen Funktionen mit Norm ☎ u ∞ = max |u(x)|.

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Angewandte Funktionalanalysis: Funktionalanalysis, Sobolev-Räume und elliptische Differentialgleichungen German by Manfred Dobrowolski


by Ronald
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